Validierung der Minkowski-Parameter in GeoDict

Minkowski-Parameter beschreiben das Volumen, die Oberfläche, die Krümmung und die Topologie einer Materialstruktur. Bei 3D-Mikrostrukturen liefern diese Größen kompakte Maßzahlen für Phasenanteile, Grenzflächen und Grenzflächenform. Die Euler-Charakteristik fasst das Gleichgewicht zwischen zusammenhängenden Komponenten, Tunneln und umschlossenen Hohlräumen zusammen. Zusammen helfen diese Deskriptoren dabei, rekonstruierte und generierte Strukturen zu vergleichen, Veränderungen der Morphologie während der Bearbeitung zu verfolgen und Zusammenhänge zwischen Mikrostruktur und Materialeigenschaften zu untersuchen. Wir haben ihre Berechnung in GeoDict anhand analytischer Lösungen für einfache Geometrien getestet. Die Ergebnisse bestätigen die getesteten Randbedingungen und topologischen Maße und quantifizieren, wie sich Voxelauflösung und Form auf die Genauigkeit auswirken.

Der Referenzwert umfasst 12 Konfigurationen auf Gittern mit 64³, 128³, 256³ und 512³ Gitterpunkten in einem festen kubischen Bereich. Er umfasst zentrierte und umgeschlossene Kugeln, eine beschnittene Halbkugel, eine Viertkugel und einen Oktanten, Platten, einen Quader, einen periodischen Zylinder und einen Torus. Für die zentrierte Kugel, die umgeschlossene Kugel und die Platte werden periodische und symmetrische Randbedingungen verglichen. Abbildung 1 zeigt sechs repräsentative Geometrien.

Jedes Ergebnis wird mit dem analytischen Wert für dieselbe Randbedingung verglichen. Bei symmetrischen Schnitten bleibt beispielsweise die Hälfte, ein Viertel oder ein Achtel des Beitrags der vollständigen Kugel erhalten; die Schnittebenen fügen keine Kappen oder Ränder hinzu. Die entsprechenden Euler-Werte sind randgewichtete Brüche und nicht die Euler-Charakteristik eines isolierten, mit Kappen versehenen Körpers. Durch periodische Fortsetzung erhält die Platte zwei Schnittstellen, während der Zylinder keine Endkappen aufweist.

Wir vergleichen Volumen, Oberfläche, integrierte mittlere und Gaußsche Krümmung sowie Euler-Charakteristiken sowohl für 6- als auch für 26-Konnektivität. Relative Fehler werden als Prozentsatz des analytischen Werts angegeben; Nullreferenzwerte werden anhand des absoluten Fehlers bewertet. Bestimmte Größen werden durch Normalisierung auf das Volumen des Definitionsbereichs überprüft.

Für die zentrierte Kugel mit 512³ Voxeln betragen die Fehler +0,008 % beim Volumen, +0,007 % bei der Oberfläche und +0,032 % bei der integrierten mittleren Krümmung. Die Ergebnisse für die zentrierte und die umgeschlagene Kugel stimmen überein, und die symmetrischen Schnitte behalten die erwarteten Anteile bei. Beide Euler-Definitionen stimmen im gesamten Benchmark mit ihren Referenzwerten überein. Der periodische Zylinder und der Torus weisen erwartungsgemäß eine integrierte Gaußsche Krümmung von Null und eine Euler-Charakteristik von Null auf.

Zwei Effekte erklären die Abweichungen von der analytischen Geometrie. Die Voxelisierung verändert die abgetastete Grenze und führt zu Fehlern, die von der Auflösung abhängen. Zudem verwendet der Schätzer 13 feste Richtungen, sodass seine Winkelabtastung eine Orientierungsverzerrung erzeugt, die nicht einfach durch eine Verfeinerung des Gitters beseitigt werden kann. Die Integral- und die digitale Geometrie bilden den methodischen Hintergrund für diese Messungen [1].

Die Platte veranschaulicht diesen Unterschied: Ihre Oberfläche liegt bei jeder getesteten Auflösung um 3,741 % unter dem analytischen Wert, obwohl ihre ebene Begrenzung mit dem Voxelgitter ausgerichtet ist. Der Flächenfehler des Quaders nimmt bei 512³ auf −4,206 % ab. Die integrierte mittlere Krümmung weist für den periodischen Zylinder einen Fehler von −7,337 % und für den Torus einen Fehler von −1,949 % auf.

Zusammen dienen die analytischen Vergleiche dazu, die Behandlung von Rändern, die Topologie, die Normalisierung und das erwartete Verhalten der Schätzer zu überprüfen. Sie untermauern die Umsetzung für die getesteten Fälle und zeigen gleichzeitig, warum die Genauigkeit bei kugelförmigen Partikeln nicht automatisch dieselbe Genauigkeit bei ebenen, kantigen oder richtungsgebundenen Strukturen bedeutet.